METODE ELIMINASI GAUSS - GAUSS JORDAN

1. ELIMINASI GAUSS

       Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga metriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat juga digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linier dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linier dtersebut kedalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi baik untuk mendapatkan nilai dari variable-variabel tersebut.

    Eliminasi Gauss adalah algoritma yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Metode ini dinamai dari Matematikawan Carl Friedrich Gauss (1777-1855), walaupun metode ini sudah dikenal oleh matematikawan Tionghoa semenjak tahun 179 M.

 

Terdapat tiga jenis operasi yang dapat dilakukan dalam metode ini:

1.   Mengganti urutan dua baris

2.   Mengalikan baris dengan angka yang bukan nol

3.   Menambah suatu baris dengan baris yang lainnya

Dengan cara ini, matriks dapat diubah menjadi matriks segitiga atas.

Contoh Soal :

Diketahui SPL 3 variabel

2x + 3y - z = 6

x + 2y - 4z = 8

x + y + 4z = 4

Tentukan nilai dari variabel - variabel SPL diatas !

Penyelesaian : 

Tahap Pertama

Mengubah persamaan linear tersebut menjadi sebuah matriks yang teraugmentasi

Tahap Kedua

Mengubah baris pertama kolom pertama ( a11 ) menjadi angka 1

Hasil dari a11, a12, a13 dan a14 ini akan menjadi baris pertama ( b1 ) dan untuk bilangan lainnya tetap sama.

Tahap Ketiga

Mengubah baris ke-2 pada kolom pertama ( a21 ) menjadi angka nol dan mengubah baris ke-2 pada kolom ke-2 ( a22 ) menjadi angka 1

Hasil dari a21, a22, a23 dan a24 ini akan menjadi baris ke-2 ( b2 ), nilai untuk bilangan lainnya tetap sama.

Tahap Keempat

Mengubah baris ke-3 pada kolom pertama ( a31 ) dan baris ke-3 pada kolom ke-2 ( a32 ) menjadi angka nol dan baris ke-3 pada kolom ke-3 ( a33 ) menjadi angka 1

 

Hasil dari a31, a32, a33 dan a34 ini akan menjadi baris terakhir atau baris ke-3 ( b3 ).

Tahap Terakhir

Setelah melengkapi ciri - ciri dari eliminasi gauss dan mendapatkan matriks yang eselon baris, kita dapat melanjutkannya dengan mencari nilai variabel x, y dan z dengan mensubstitusikannya. Caranya yaitu :

 

Dari matriks diatas maka didapatkan SPL 3 variabel yang baru yaitu :

x + y + 3z = -2

y - 7z = 10

z = 6

Kemudian kita harus mensubstitusikan persamaan linear diatas untuk memperoleh nilai variabel x, y dan z. karena nilai z sudah diketahui yaitu :

z = 6

Maka, langkah selanjutnya adalah mencari nilai dari variabel y dengan mensubtitusikannya dengan persamaan linear dengan persamaan pada baris ke-2.

y - 7z = 10

y - 7(6) = 10

y - 42 = 10

y = 10 + 42

y = 52

Dan terakhir kita akan mencari nilai dari variabel x dengan mensubstitusikannya dengan persamaan linear pada baris pertama.

x + y + 3z = -2

x + 52 + 3(6) = -2

x + 52 + 18 = -2

x + 70 = -2

x = -2 - 70 

x =-72

dengan ini maka, kita sudah mendapatkan nilai - nilai dari variabel diatas yaitu x = -72, y = 52 dan z = 6 .

2. ELIMINASI GAUSS-JORDAN

        Eliminasi gauss-jordan ini adalah pengembangan dari eliminasi gauss yang hasilnya lebih disederhanakan lagi. Metode ini dimodifikasi oleh Wilhelm Jordan seorang insinyur Jerman pada tahun 1887. Dengan metode ini selain dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear juga dapat digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.
 
        Sehingga untuk mengoperasikan persamaan linear cara penyelesaiannya pun hampir sama dengan metode gauss, namun pada metode gauss kita hanya menghasilkan matriks yang eselon baris sedangkan metode eliminasi gauss-jordan ini perbedaanya hanya kita harus membuat elemen elemen diatas maupun dibawah diagonal utama menjadi bernilai nol. Sehingga hasilnya menjadi matriks eselon yang tereduksi yaitu menjadi sebuah matriks dengan diagonal satuan atau matriks identitas ( semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, sedangkan elemen lainnya bernilai nol ). Tahap pengerjaanya sama dengan metode sebelumnya yaitu eliminasi gauss  menggunakan cara elementer.

Contoh soal :

Diketahui SPL 3 variabel

x + 3y + 2z = 4

2x + 7y + 4z = 6

2x + 9y + 7z = 4

Tentukan nilai dari variabel - variabel persamaan linear diatas !

Penyelesaian :

Tahap Pertama 

Sama seperti metode gauss, pertama kita harus mengubah persamaan linear 3 variabel diatas menjadi sebuah matriks yang teraugmentasi.

Tahap Kedua

Karena baris pertama pada kolom pertama ( a11 ) sudah bernilai 1. Maka, kita akan mengubah baris ke-2 ( b2 ) terlebih dahulu.

 

Hasil dari a21, a22, a23 dan a24 akan menjadi baris ke-2 ( b2 ) dan untuk elemen lainnya tetap sama.

Tahap Ketiga 

Selanjutnya kita akan mengubah nilai pada baris ke-3 ( b3 ).

 Hasil dari a31, a32, a33 dan a34 akan menjadi baris ke-3 ( b3 ).

Tahap Keempat

Karena baris pertama pada kolom ke-2 ( a12 ) dan baris pertama pada kolom ke-3 ( a13 ) belum bernilai nol, maka kita masih harus mengoperasikannya agar bernilai nol sehingga menjadi matriks yang tereduksi.

 

Hasil dari a11,a12,a13 dan a14 ini akan menjadi baris ke-1 ( b1 ).

 Hasil dari a11, a12, a13 dan a14 ini akan menjadi tahap terakhir untuk mengoperasikan baris pertama ( b1 ), sehingga kita sudah mendapatkan matriks yang tereduksi.

Tahap Terakhir

 

Setelah kita menghasilkan matriks eselon tereduksi yang membentuk sebuah matriks identitas seperti diatas, maka kita tidak perlu mensubstitusikannya seperi pada eliminasi gauss karena, sudah dapat diketahui nilai variabelnya yaitu : x = 26, y = -2 dan z = -8 .

Demikianlah pembahasan singkat tentang metode eliminasi gauss, gauss-jordan, Semoga artikel ini dapat membantu kalian dalam mengerjakan tugas.

Terimakasih 😄😄😄...