DETERMINAN MATRIKS 

 Pengertian, Sifat-sifat Dan Cara Mudah Mencari Determinan Matriks

Dalam bidang aljabar linear, determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matriks persegi. Determinan matriks A ditulis dengan tanda det(A), det A, atau |A|. Determinan dapat dianggap sebagai faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks.

Determinan Matriks adalah Sebuah nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matriks persegi. Untuk setiap matriks bujur sangkar A terdapat nilai karakteristi yang dikenal sebagai determinan. Determinan matriks A ditulis dengan sebuah tanda, yaitu: det(A), det A, atau |A|.

Adapun sifat-sifat determinan matrik sebagai berikut:

Contoh soal

Tentukanlah invers dari matriks berikut.

Pembahasan:

 

Catatan: elemen-elemen yang berada di lingkar biru merupakan diagonal utama matriks A yang ditukar posisinya, sedangkan elemen-elemen yang berada di lingkar oranye merupakan diagonal kedua matriks A yang dikalikan dengan minus satu (-1).

 Determinan Matriks Ordo 3x3

Misalkan,adalah matriks berordo 3x3. Terdapat dua cara yang bisa dilakukan untuk mencari determinannya, yaitu menggunakan aturan Sarrus dan metode minor-kofaktor.

    Cara menentukan determinan matriks 3 × 3 berbeda dengan cara menentukan determinan matriks 2 × 2. Determinan matriks 3 × 3 bisa ditentukan dengan dua cara, yaitu sebagai berikut:

1. Cara determinan

Adapun cara determinan untuk matriks 3 × 3 bisa kamu lihat di contoh berikut ini.

Agar kamu semakin paham, simak contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 2

Pembahasan:

Determinan matriks tersebut bisa ditentukan dengan cara berikut.

Jadi, determinan matriks S di atas adalah 36.

2. Cara Sarrus

Cara sarrus ini adalah cara yang paling mudah untuk mencari determinan matriks 3 × 3. Adapun langkah-langkah yang harus kamu perhatikan adalah sebagai berikut.

• Semua unsur matriks yang berada di 2 kolom pertama, kamu salin ke kolom paling belakang (kolom 4) dengan tanpa mengubah urutan kolomnya, ya.
• Lakukan operasi perkalian menyilang untuk 3 unsur ke arah kanan bawah, lalu jumlahkan hasilnya. Sebut saja hasilnya sebagai KA.
• Lakukan operasi perkalian menyilang untuk 3 unsur ke arah kiri bawah, lalu jumlahkan hasilnya. Sebut saja hasilnya sebagai KI.
• Secara matematis, determinan matriks 3 × 3 dinyatakan sebagai berikut.

det A = KA – KI.

Perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal 3

Pembahasan:

• Salin semua unsur yang berada di 2 kolom pertama ke kolom 4.

• Lakukan operasi perkalian menyilang untuk 3 unsur ke arah kanan bawah.

                       

KA = 0 + (-12) + 18 = 6

• Lakukan operasi perkalian menyilang untuk 3 unsur ke arah kiri bawah.

KI = -24 + (-6) + 0 = -30

Dengan demikian, hasil det S menggunakan cara sarrus adalah

det S = KA – KI = 6 − (−30) = 36. 

Penerapan Determinan Matriks pada Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear dua peubah (SPLDP) dan sistem persamaan linear tiga peubah (SPLTP) bisa dicari solusinya menggunakan aturan determinan. Perhatikan rumus berikut.

Untuk SPLDP:

Untuk SPLTP:

Jangan bingung ya, untuk mencari solusi SPLTP menggunakan determinan matriks memang agak rumit, tetapi mudah kok. Ini dia contoh soalnya!

Contoh Soal 4

Tentukan solusi SPLTP berikut menggunakan metode determinan.

x + y – z = -4

2x + 4y + 2z = 10

x + 3y + z = 4

Pembahasan:

Sistem persamaan liner tiga peubah di atas bisa dituliskan dalam bentuk  matriks sebagai berikut.

Jadi, solusi persamaan linear tiga peubah di atas adalah (2, -1, 5).

Demikian materi ringkas ini, semoga dapat menambah pengetahuan pembaca😄😄😄